고등학교 수학을 공부하다보면 여러가지 증명법에 대해 배우게 됩니다. 이중 대부분은 고등학교 3학년이 끝날때 까지 유용하게 사용되는 증명법들입니다. 학생들을 만나보면 증명법들을 정리해두지 않아서 문제를 해결하지 못하는 경우를 많이 보았습니다. 그래서 이번시간에는 여러분들을 위해 고등학생이 꼭 알야두어야 하는 수학 증명법을 모두 알아볼까 합니다. 아래 내용들은 고등학교 생활을 하다보면 중간중간 등장해서 한번 정리해두면 유용한 내용들입니다. 그럼 시작해봅시다.
1. 직접 증명법
아마 몇몇 분들은 직접 증명법이라는 말 자체를 처음 들어보셨을 수도 있습니다. 그러나 이는 이 글을 읽는 모든 학생이 무의식적으로 사용하고 있는 것입니다. 직접 증명법을 아주 간단하게 소개드리자면 여러분이 푸는 대부분의 수학문제 풀이가 직접 증명법이라고 생각하시면 됩니다. 예를들어 조건 A와 조건 B가 등장했을때 이로부터 정리나 계산등을 통해 결론 C를 도출해내는 방법입니다. 이를 이해하실땐 직접적으로 증명하는 방법이다. 이렇게 생각해주시면 편합니다.
2. 대우 증명법
대우 증명법은 대우 법칙을 이용해 원하는 명제를 간접적으로 증명하는 방식을 의미합니다. 우리가 $p \to q$라는 명제를 증명하고 싶을때 이를 직접적으로 보이는 것이 아닌 이것의 대우인 $\sim q \to \; \sim p$를 증명하는 방법입니다. 이 방법은 주로 원래 증명하려는 명제가 부정명제로 되어있을 경우 이를 다시 부정하여 증명하기 쉽게 고칠때 자주 사용됩니다.
3. 귀류법
귀류법은 고등학교 에서 배우는 증명법중 제일 논리학과 가까운 증명법이 아닐까 하는 생각이 듭니다. 귀류법은 결론을 부정하여 모순을 이끌어 내는 증명방식을 의미합니다. 처음 보시는 분은 무슨 뜻인지 잘 이해가 안가실 듯 합니다. 쉽게말하자면 처음 조건들에서 시작해서 결론으로 나아가는 방식이 아닌 결론 자체를 부정해놓고 보니 알고보니 위 조건들에 이상한 점(모순)이 발생했다. 따라서 결론이 참이어야만 한다. 이런 방식으로 결론이 아닐 수 없으므로 명제가 참이라고 증명하는 방법입니다. 대표적으로 볼 수 있는 예시로는 루트 2가 무리수임을 증명할때 사용합니다.
간혹가다 대우 증명법을 귀류법과 혼동해서 사용하는 학생들이 많던데 이 두가지 증명법은 엄밀하게 다른 증명법입니다. 대우 증명법은 대우 법칙을 써서 진리집합이 동일한 다른 명제로 바꾸어서 증명하는 것이고 귀류법은 명제자체는 그대로 두고 결론을 부정하는 것입니다. 증명과정에서 결론에 부정이 들어가는 첫 시작이 같아서 동일한 것으로 착각하는 것 같은데 완전히 다르다는 사실 꼭 알아두시길 바랍니다.
4. 수학적 귀납법
현재 교육과정상 고1은 무엇인지 모를것 같으니 참고로만 알아두시면 됩니다. 수학적 귀납법은 자연수에 대해 성립하는 명제일때 주로 사용하는 방식입니다. 자연수 집합의 성질을 한번 떠올려 보면 1. 최소원소(1)이 존재하고 2. 원소의(n)의 다음 수(n+1)가 자연수 집합에 포함되며 3. 이 방식으로 모든 자연수를 설명할 수 있습니다. 자세한 이유가 궁금하시면 페아노 공리계와 관련된 글을 읽어보시길 바랍니다.
수학 선생님만 아는 1+1=2 엄밀한 증명 (페아노 공리계)
0. 서론 1+1=2이다. 너무 당연한 사실입니다. 사과 한 개와 사과 한 개를 더했을때 사과 두 개가 되니 1+1=2이겠지요. 그러나 한 초등학생이 와서 물방울 한 개와 물방울 한 개를 더하면 물방울 한 개
eungaram.tistory.com
그래서 위 원리를 이용하면 자연수 집합의 경우 아래 방식을 통해 모든 자연수에대해 명제가 참임을 보일 수 있습니다.
- n=1일때 명제가 참이다.
- n=k일때 참이란 가정하에 n=k+1에서도 명제가 참이다.
- 따라서 모든 자연수에대해 명제가 참이다.
위에 나온 일련의 과정을 수학적 귀납법이라고 부릅니다. 수학적 귀납법은 수능에서 (가),(나),(다) 문제에서 자주 등장하니 수능을 준비하시는 분은 꼭 알아두셔야 합니다.
5. 반례 증명법
위 4가지 증명법들의 공통점이 뭘까요? 바로 어떤 명제가 참임을 보이는 것입니다. 그러나 ㄱㄴㄷ 선지에서 옳은것을 고르는 문제처럼 진위여부를 판단하는 문제에서는 주어진 명제가 거짓임을 보여야 하는 경우도 발생합니다. 이럴때 직접적인 계산등으로 바로 보여지는 경우도 있지만 대부분의 거짓을 판정하는 문제는 반례 증명법을 이용합니다.
그럼 반례 증명법이 무엇이냐. 바로 주어진 명제에 반하는 예시를 하나 들어주는 것입니다. 이를 반례라고 부르고 이를 이용해 명제가 거짓임을 증명하는 방법을 반례 증명법이라고 합니다. 예를들어서 $x^2=4 \; \; \to \; \; x=2$라는 명제가 있다고 하면 이는 틀린 명제입니다. 그리고 틀린 명제를 증명하기 위해선 단 하나의 반례만 들어주어도 됩니다. 위 명제에서 반례로 $x=-2$를 말해주면 명제가 거짓임이 바로 증명되는 것입니다.
여기까지 고등학교에서 사용되는 증명법을 대부분 정리해보았습니다. 위에 나온 직접 증명법, 대우 증명법, 귀류법, 수학적 귀납법, 반례 증명법은 고등학교 시험에서 직접적으로 묻지는 않지만 문제를 풀때 증명법을 잘 숙지하고 있어야 문제를 풀 수 있는 경우가 많습니다. 그러니 현제 내신범위가 아니라고 해도 깔끔하게 정리해 두시길 추천드립니다.
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