수학 선생님만 아는 1+1=2 엄밀한 증명 (페아노 공리계)

 

 

0. 서론

1+1=2이다. 너무 당연한 사실입니다. 사과 한 개와 사과 한 개를 더했을때 사과 두 개가 되니 1+1=2이겠지요. 그러나 한 초등학생이 와서 물방울 한 개와 물방울 한 개를 더하면 물방울 한 개가 되는데 왜 1+1=2인가요? 라고 질문한다면 어떻게 답해주실 건가요? 아마 대부분의 사람들이 궤변이라고 생각하며 이런 질문을 받아주지 않으리라 생각합니다. 그러나 오래전 부터 수학자들은 이런 당연한 사실을 설명하길 원했고 그결과 1+1=2라는 당연한 사실에 대한 엄밀한 증명을 해내게 됩니다.

 

 

1. 페아노 공리계 (Peano's axioms)

먼저 1+1이 왜 2가되는지 엄밀하게 증명하기 위해선 우리는 아래 질문에 대한 대답을 해보아야 합니다.

 

• 1이 무엇인가? 2는 무엇인가? (즉, 자연수는 무엇인가?)
• +는 무엇인가?

 

여기에 대한 해답을 주는 것이 페아노 공리계라고 볼 수 있습니다. 말이 조금 어려운데 먼저 공리가 무엇인지 알아보겠습니다.

 

 

공리란 쉽게말하면 수학자들이 한 약속이라고 생각하시면 편합니다. 갑자기 웬 약속? 이라고 생각하실지도 모르겠습니다만 과거부터 수학자들은 세계의 본질을 탐구하기 위해 모든것의 기초가 되는 것을 알고싶어했습니다. 이는 원인과 결과과 반복되는 상황에서 맨 처음 원인을 알아내고 싶어한다고도 이해할 수 있습니다. 그렇게 수학자들이 기초가 되는 것을 찾다보니 아무리 생각해도 어떤 명제는 다른것으로 증명되었다고 보기 어려운 명제를 발견하게 됩니다. 이를 수학자들은 공리. 즉, 자명하게 참으로 받아드리는 명제라 생각하고 이를 기반으로 수학의 토대를 쌓았습니다.

 

 

그러한 공리중 자연수에 대한 공리를 페아노 공리계라고 부릅니다. 그럼 위키피디아에 나오는 페아노 공리계를 살펴봅시다.

 

 

페아노 공리계

1. 임의의 자연수 x에 대해, x = x. 즉, 동일성은 반사관계이다.
2. 임의의 자연수 x와 y에 대해, x = y이면 y = x. 즉, 동일성은 대칭관계이다.
3. 임의의 자연수 x, y, z에 대해, x = y이고 y = z이면 x = z. 즉, 동일성은 추이관계이다.
4. 임의의 a와 b에 대해, a가 자연수이고 a = b이면 b도 자연수이다. 즉, 자연수 집합은 동일성에 대해 닫혀 있다.
5. 0은 자연수이다.
6. 임의의 자연수 n에 대해, S(n)은 자연수이다.
7. 임의의 자연수 n에 대해, S(n) ≠ 0. 즉, 따름수가 0인 자연수는 존재하지 않는다.
8. 임의의 자연수 m과 n에 대해, S(m) = S(n)이면 m = n. 즉, S는 단사 함수이다.
9. K가 다음의 조건을 만족하는 집합이라 하자:
   • 0은 K의 원소이다.
   • 임의의 자연수 n에 대해, n이 K의 원소이면, S(n)은 K의 원소이다.
   이때, K는 모든 자연수를 포함한다.

 

여기서 1~4번은 당연하게 느껴지실거라 생각합니다. 5번에 대해 의문을 가지시는 분이 있을거라 생각합니다. 일반적으로 자연수라고 하면 1부터 시작한다고 생각할 것인데 0을 자연수에 포함시키지 않으면 수학 연구에 있어 불편한 점이 꽤 있습니다. 그래서 자연수에 0을 포함시켜서 생각하는 경우다 많습니다. 6~9번에 나오는 S(n)라는 함수는 따름수 함수라는 것인데 쉽게말하면 그다음 자연수를 말해주는 함수입니다. 예를들어 S(0)=1 , S(1)=2와 같이 그다음 수를 말해주는 함수입니다.

 

 

2. 페아노 공리계에서의 덧셈

여기까지 자연수에 대해 알아보았는데 이제 덧셈을 살펴봅시다. 덧셈은 위에서 살펴본 따름수 함수인 S(n)을 통해 아래와 같이 정의됩니다.

 

• $a+0=a$  $\cdots$  (1)
• $a+S(b)=S(a+b)$  $\cdots$  (2)

 

(1)은 어떤 자연수에 0을 더하면 자기자신이 됨을 말해주고 있습니다. (2)는 a와 b의 따름수를 더하면 이는 a와 b를 더한 수의 따름수와 동일하다고 알려주고 있습니다. 여기까지 하면 페아노 공리계에서 1+1=2를 증명하는 데 필요한 내용을 다 알게된 것이고 이제 증명해보도록 하겠습니다.(사실 흐름을 위해 증명에 필요한 내용 외적인 부분도 다루었습니다.)

 

 

3. 1+1=2의 엄밀한 증명

따름수 함수의 정의에 의해 $1=S(0)$ 입니다.

즉, $1+1 = 1+S(0)$

한편, 덧셈의 정의(2)에 의해 $1+S(0) = S(1+0)$

덧셈의 정의(1)에 의해 $1+0=1$ 이므로 $S(1+0)=S(1)$

따름수 함수의 정의에 의해 $S(1)=2$

따라서 $1+1=2$가 됩니다.

 

 

4. 마치며

여기까지 1+1=2에 대한 엄밀한 증명을 마무리 하였습니다. 사실 1+1=2를 증명하는 엄밀한 방법을 일상생활에 살아가면서 활용하기는 쉽지 않습니다. 그러나 이를 증명하는 과정에서 간접적으로 순수 수학을 보여드렸다고 생각합니다. 또한 이러한 사고의 흐름은 살아가는데 적용해볼만한 가치가 있다고 생각합니다. 감사합니다.