배수 판별법 총 정리(중고등학생이라면 꼭 알아야할 2부터 10의배수 판정 방법 + 원리)

 

 

수학문제를 풀다보면 가끔 몇의 배수인지를 판단하는 문제를 접하게 된다. 중학교때 간단한 배수 판별부터 고등학교때 확률과통계에서 주로 나오는 고난이도 배수 판정문제까지 다양하다. 그럼에도 불구하고 대부분의 중고등학생들이 배수 판단 방법을 정리하지 않고 심지어 이를 가르치는 곳도 의외로 많지 않다. 이 글에서는 학생때 접하는 모든 배수 판정 문제에서 미리 알아두어야 할 개념들을 싹다 모아보았다. 한번만 확실하게 공부해두기로 하자!(마지막 요약 있음)

 

 

시작하기 앞서 배수 판정법의 기본 원리에 대해 알아보도록 하자. 배수 판정법의 원리는 의외로 간단하다. 어떤 자연수가 주어졌을때 이를 자릿수를 쪼개서 생각해보는 것이다. 예를들어 $234=200+30+4=2\times 100+3\times 10+4$ 와 같이 수를 쪼갠후 10, 100, 1000와 같은 형태의 수의 특징을 분석한 후 자릿수만 확인하여 몇의 배수인지를 판단하는 것이다. 이제 구체적인 방법을 알아보자.

 

 

1의 배수 판정법

모르면 곤란하다... 모든 자연수는 1의배수이다.

 

 

2의 배수 판정법

2의 배수는 판정하기위해선 10, 100, 1000등의 수를 살펴보자. 이 수들은 모두 $5 \times 2$, $50 \times 2$, $500 \times 2$로 항상 2의 배수이다. 따라서 어떤 자연수가 2의 배수이기 위해선 맨 마지막 자리만 2의배수이면 2의배수가 되는 것이다. 그런데 한자리 수중 2의배수는 0,2,4,6,8뿐이므로 일의자리 수가 0,2,4,6,8이면 그 자연수는 2의배수가 된다. 예를들어 243은 끝자리가 3이므로 2의배수가 아니고 786은 끝자리가 6이므로 2의배수가 맞다.

 

 

3의 배수 판정법

이번에도 10,100,1000을 살펴볼건데 조금 다른방향으로 살펴볼 것이다. 이를 $3 \times 3+1$, $33 \times 3+1$, $333 \times 3+1$로 바꿔서 생각해보면 앞부분이 항상 3의배수가 된다. 따라서 각 자리수의 합이 3의배수이면 충분한 것이다. 예를들어 123의 경우 1+2+3=6이고 6은 3의배수이므로 123은 3의배수가 된다. 그리고 512는 5+1+2=8이고 8은 3의배수가 아니어서 512는 3의배수가 아니다.

 

 

4의 배수 판정법

4의 배수를 판정하기위해 10을 먼저 살펴보면 10은 4의배수가 아니다. 그러나 100,1000,10000등은 $25 \times 4$, $250 \times 4$, $2500 \times 4$으로 바꿀 수 있으므로 4의배수가 된다. 따라서 어떤 자연수가 4의 배수임을 판단하기 위해선 뒤에서 두자리가 4의배수면 되는 것이다. 예를들어 4520은 맨끝 두자리가 20으로 4의배수이므로 4520은 4의 배수이다. 그리고 7811은 맨끝 두자리가 11로 4의배수가 아니므로 7811은 4의배수가 아니다.

 

 

5의 배수 판정법

이번엔 10,100,1000을 $2 \times 5$, $20 \times 5$, $200 \times 5$로 바꿔보면 모두 5의배수임을 알 수 있다. 따라서 2의배수판정법과 유사하게 일의자리가 5의배수이면 충분한 것이다. 즉, 끝자리가 0또는 5이면 충분하다. 예를들어 525는 끝자리가 5이므로 5의배수고 689은 끝자리가 9여서 5의배수가 아니다.

 

 

6의 배수 판정법

슬슬 외우기 힘들어 지고 있을것 같은데 6의배수는 외울게 없다. $2 \times 3=6$임을 생각해보면 6의 배수 판정법은 2의 배수 판정법과 3의 배수 판정법을 합치면 된다는 사실을 알 수 있다. 예를들어 726은 끝자리가 6이므로 2의배수고 7+2+6=15가 3의배수이므로 726은 2의 배수임과 동시에 3의 배수여서 6의 배수이다.

 

 

7의 배수 판정법

이는 중고등학생들에게 필요한 내용이 아니고 내용자체도 어려워서 추후에 다뤄볼 예정이다. 내신/수능 시험과는 관련없는 내용이니 학생이라면 크게 신경쓰지 않아도 된다.

 

 

8의 배수 판정법

8의 배수 판정을 위해 10, 100을 보면 둘다 8의 배수가 아니다. 그러나 1000,10000,100000은 $125 \times 8$, $1250 \times 8$, $12500 \times 8$이 되어 8의 배수가 된다. 따라서 뒤의 세자리가 8의 배수면 8의배수가 된다. 예를들어 789145는 마지막 145가 8의 배수가 아니어서 789145는 8의 배수가 아니고 674808은 마지막 808이 8의 배수여서 674808은 8의 배수이다.

 

 

9의 배수 판정법

9의 배수 판정을 하기위해 10, 100, 1000등을 $9+1$, $11 \times 9 +1$, $111 \times 9 +1$으로 생각해주면 3의배수와 마찬가지로 자릿수 합이 9의 배수면 충분함을 알 수 있다. 예를들어 3474는 3+4+7+4=18이 9의 배수여서 9의 배수가 된다. 그리고 678은 6+7+8=21이어서 3의배수이긴 하지만 9의배수는 아님을 알 수 있다.

 

 

10의 배수 판정법

6의 배수 판정법을 연습하며 했던 내용을 반복하면된다. 즉, 2의 배수 판정법과 5의 배수 판정법을 섞으면 된다. 그럼 끝 자리가 0이면 된다는 우리가 익히 잘 알고있는 10의 배수 판정법이 나오게 된다.

 

 

이제 총 정리 해보자

1의 배수 판정법 : 모든 자연수

2의 배수 판정법 : 맨 끝자리가 0,2,4,6,8

3의 배수 판정법 : 각 자릿수 합이 3의배수

4의 배수 판정법 : 맨 끝 두자리가 4의배수

5의 배수 판정법 : 맨 끝자리가 0,5

6의 배수 판정법 : 2의 배수 판정법 + 3의 배수 판정법

7의 배수 판정법 : 시험 문제 안나옴. 추후 다룰 예정

8의 배수 판정법 : 맨 끝 세자리가 8의배수

9의 배수 판정법 : 각 자릿수 합이 9의배수

10의 배수 판정법 : 맨 끝자리가 0 (2의 배수+5의 배수)

 

 

여기까지 배수 판별법을 총 정리 해봤는데 이외의 배수판별문제는 6의 배수 판별에서 보았던 다른 판별법을 섞는 방식으로 해결 가능하다. 여러분들의 수학 공부에 도움이 되었으면 좋겠다고 생각한다.